Fenwick

Introdução ao Fenwick

O Fenwick, também conhecido como Árvore de Fenwick ou BIT (Binary Indexed Tree), é uma estrutura de dados eficiente para realizar operações de soma em intervalos de um array. Ele foi desenvolvido por Peter Fenwick em 1994 e desde então tem sido amplamente utilizado em competições de programação e em diversas aplicações práticas. Neste glossário, vamos explorar em detalhes como o Fenwick funciona, suas aplicações e como implementá-lo em diferentes linguagens de programação.

Como funciona o Fenwick

O Fenwick é uma árvore binária que armazena a soma acumulada de elementos de um array. Cada nó da árvore representa a soma de um intervalo específico do array. Para calcular a soma de um intervalo [1, i], onde i é o índice do elemento no array, basta percorrer a árvore de Fenwick e somar os valores dos nós correspondentes. A principal vantagem do Fenwick em relação a outras estruturas de dados é a sua eficiência na realização de operações de soma em intervalos.

Aplicações do Fenwick

O Fenwick é comumente utilizado em problemas que envolvem consultas de soma em intervalos de um array. Alguns exemplos de aplicações do Fenwick incluem a resolução de problemas de inversão de contagem, consultas de soma em subconjuntos de um array e atualizações de elementos em um array. Além disso, o Fenwick pode ser utilizado em algoritmos de compressão de dados e em problemas de processamento de strings.

Implementação do Fenwick em C++

A implementação do Fenwick em C++ é relativamente simples e requer apenas algumas linhas de código. Abaixo está um exemplo de como implementar o Fenwick para realizar consultas de soma em intervalos e atualizações de elementos em um array:

“`cpp
#include
using namespace std;

#define MAXN 100005

int BIT[MAXN];

void update(int idx, int val) {
while (idx 0) {
sum += BIT[idx];
idx -= idx & -idx;
}
return sum;
}
“`

Implementação do Fenwick em Python

A implementação do Fenwick em Python é semelhante à implementação em C++, porém com algumas diferenças de sintaxe. Abaixo está um exemplo de como implementar o Fenwick em Python:

“`python
MAXN = 100005
BIT = [0] * MAXN

def update(idx, val):
while idx 0:
sum += BIT[idx] idx -= idx & -idx
return sum
“`

Complexidade do Fenwick

A complexidade do Fenwick para realizar consultas de soma em intervalos e atualizações de elementos é O(log n), onde n é o número de elementos no array. Isso torna o Fenwick uma estrutura de dados eficiente para problemas que requerem operações de soma em intervalos de forma rápida e eficiente. Além disso, o Fenwick ocupa menos espaço de memória do que outras estruturas de dados como a Segment Tree.

Comparação com outras estruturas de dados

Uma das principais vantagens do Fenwick em relação a outras estruturas de dados, como a Segment Tree, é a sua simplicidade de implementação e menor consumo de memória. Enquanto a Segment Tree requer mais linhas de código e espaço de memória para armazenar os intervalos de soma, o Fenwick consegue realizar as mesmas operações com menos complexidade e eficiência.

Conclusão

Em resumo, o Fenwick é uma estrutura de dados poderosa e eficiente para realizar operações de soma em intervalos de um array. Sua implementação é relativamente simples em diversas linguagens de programação, tornando-o uma escolha popular para resolver problemas que envolvem consultas de soma em intervalos. Esperamos que este glossário tenha fornecido uma visão abrangente sobre o Fenwick e suas aplicações na programação.